Absolvoval konzervatoř v Pardubicích u prof. Ivana Štrause. Na HAMU byli jeho profesory Jiří Novák na housle a Antonín Kohout na komorní hru (oba členové Smetanova kvarteta). V mezinárodní houslové soutěži Jaroslava Kociana v Ústí nad Orlicí získal 1. cenu a titul laureáta. Ceny získal také na soutěžích Václava Humla v Zagrebu a v Gorizii. V roce 1994 se stal laureátem mezinárodní Beethovenovy soutěže v Hradci nad Moravicí.

Vystupuje často na recitálech a koncertech s orchestry doma i v zahraničí.

U příležitosti 250. výročí úmrtí J. S. Bacha provedl v roce 2000 koncertně kompletní soubor jeho sólových sonát a partit, které natočil roku 2002 na CD.

Leoš Čepický je primáriem Wihanova kvarteta, které vzniklo v roce 1985 na HAMU. Na soutěži Pražského jara v roce 1988 získalo 1. cenu. V Londýně dostali 1. cenu na kvartetní soutěži Yehudi Menuhina v roce 1991 a stali se na dva roky rezidenčním kvartetem. Po tomto vítězství se Wihanovo kvarteto rozjelo do celého světa od USA až po Nový Zéland. Soubor natočil přes 40 CD. Mimo jiné provedli Wihanovci od října 2008 do března 2009 všech 16 kvartet Ludwiga van Beethovena. Koncerty se natáčely na CD a částečně DVD a byly vydány na labelu britské Nimbus Alliance. Tamtéž vyšla v roce 2009 unikátní nahrávka 24 Capricií Niccolò Paganiniho v úpravě pro smyčcový kvartet (arr. William Zinn).

Prof. Leoš Čepický vyučuje od roku 2007 hru na housle na AMU v Praze. Od roku 2010 vede katedru strunných nástrojů a od roku 2023 je také studijním proděkanem.